En caso un número par es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k, donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2).

Los números enteros que no son pares, se llaman números impares (o nones), y se pueden escribir como 2k+1.^[1]

Los números pares son:

y los impares:

La paridad de un número entero se refiere a su atributo de ser par o impar.^[2] Comparativamente, dos números son «de la misma paridad» si al dividirlos entre 2, el resto es el mismo, por ejemplo: 2 y 4, o 3 y 7;«son de la misma paridad». Por el contrario los números 23 y 44 « son de distinta paridad».

Reconocimiento [editar]

Si la base de numeración utilizada es un número par (por ejemplo, base 10 o base 8), podremos reconocer un número par si su último dígito también es par.

Por ejemplo, el siguiente número en base 10:

es par ya que su último dígito: 6, también es par.

Lo mismo sucede con el siguiente número en base 6:

Si la base del sistema de numeración es impar, ( 3, 5, etc), el numero será par si el numero de dígitos con cifra impar es par, en cualquier otro caso el numero será impar.

Por ejemplo, en base 3:

es impar, dado que el uno es la unica cifra impar, mientra que:

Como el 3 y el 1 son impares, hay un numero par de cifras impares y el número es par.

Paridad del cero [editar]

El cero es un número par, cumple con la definición así como con todas las propiedades de los número pares.

Propiedades aritméticas [editar]

Los números pares tienen las siguientes propiedades con respecto a los impares:

1. .
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

Para demostrarlas, tendremos en cuenta que cualquier número par puede ser escrito como y cualquier número impar como , siendo un número entero.

Propiedades con respecto a la divisibilidad [editar]

• Dos números enteros consecutivos tiene paridad diferente.
• Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la misma paridad y uno de ellos será necesariamente múltiplo de 3. (Parece ser falso, ya que 0, 1, 2 son tres números enteros consecutivos, al igual que -1, 0, 1; 0 y 2 tienen la misma paridad; 1 y -1 tienen la misma paridad, el 0 es múltiplo de 3.)

Tipos especiales de números pares [editar]

• Los números perfectos, al menos todos los que se conocen. Todavía no se sabe si hay alguno impar.
• Los factoriales de un natural diferente de 1 y de 0 y los números primoriales son pares.
• Los números congruentes de Fibonacci son todos pares. Según la definición del mismo Fibonacci (Leonardo de Pisa, Filius Bonacci), que aparece en su libro "Liber Quadratorum" (1225), un número congruente es de la forma m·n (m² - n²), con m y n enteros positivos impares y m > n.

Tipos especiales de números impares [editar]

• Los números primos, con la única salvedad del 2, que es par. Se trata de aquellos números naturales que no tienen otros divisores más que ellos mismos y el 1.
  • Los números primos de la forma , con n un número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras.
  • Los primos de la forma no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros, pero sí como diferencia de cuadrados. La raíz cuadrada del cuadrado mayor, o minuendo de la diferencia, es igual a , donde n es el mismo natural que aparece en la expresión del número primo.

Definiciones en desuso [editar]

En el libro 7 de los Elementos de Euclides^[3] (definiciones 8 a 10) vienen definidas unas clases de números que, aunque hoy en desuso, han sido citadas de forma recurrente en libros históricos de matemáticas.

• Número parmente par, pariter par o propiamente par «es el medido por un número par según un número par». Sería, por tanto, el producto de dos números pares (todos son múltiplos de 4).
• Número parmente impar o pariter impar «es el medido por un número par según un número impar», es decir, el producto de un número par por un número impar.
• Número imparmente impar, impariter impar o propiamente impar «es el medido por un número impar según un número impar», es decir, el producto de dos números impares.

Observaciones:

• En estas definiciones, el 1 no cuenta como número,^{[4] [5]} por lo que los números imparmente impares son exactamente los números impares compuestos. Estos son los números que se emplean en la criba de Sundaram para hallar números primos: un número primo será todo número impar (con la consabida excepción del 2) que no esté en la criba de Sundaram.
• Algunos números se consideran tanto parmente pares como parmente impares. Por ejemplo, 24 es igual a 6 por 4, así que es parmente par; pero también es igual a 3 por 8, con lo que es parmente impar.

Algunas fuentes, tales como Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica (1794)^[6] y el más reciente Enjambre matemático,^[7] utilizan otra definición para los números parmente pares: no se trata de los que son productos de dos pares, sino de los que sólo se pueden expresar como producto de dos pares (exceptuando, por supuesto, el producto de sí mismos por uno). Según esta definición, los números parmente pares son exactamente las potencias de 2. Asimismo, definen el número parmente impar como el múltiplo de una potencia de 2 por un número impar e introducen el concepto, ausente en la obra de Euclides,^[7] de número imparmente par como un número que es doble de un número impar. La definición del número imparmente impar no sufre variación.

El libro Llave aritmética y algebrayca^[8] utiliza las primeras definiciones y explica el caso de que haya números que son simultáneamente parmente pares y parmente impares. Esta definición, además, queda reforzada en la proposición 32 del libro 9 de los Elementos,^[3] que explica así: «Cada uno de los números (que es continuamente) duplicado a partir de una díada es solamente un (número) parmente par».

Véase también [editar]

• Número
• Matemáticas
• Paridad del cero
• Función par
• Permutación par

Referencias [editar]