Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição hipergeométrica é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve a probabilidade de se retirar x elementos do tipo A numa sequência de n extrações de uma população finita de tamanho N, com K elementos do tipo A e N-K elementos do tipo B, sem reposição.

Seja N um conjunto tal que existem K elementos do tipo A e N-K elementos do tipo B. Um conjunto de n elementos é selecionado, aleatoriamente e sem reposição, do conjunto de N elementos. A variável aleatória X denota o número de elementos tipo A. Então, X tem distribuição hipergeométrica e

onde x= 0,1,2,...,min(K,n) e onde refere-se ao coeficiente binomial, o número de combinações possíveis ao seleccionar elementos de um total .

O valor esperado da variável aleatória X é dado por

e a sua variância

.

Quando o tamanho da população é muito maior do que a amostra (isto é, N é muito maior que n) a distribuição hipergeométrica é razoavelmente bem aproximada pela distribuição binomial com parâmetros n (número de tentativas) e p = K / N (probabilidade de sucesso numa tentativa única).

Exemplo [editar]

Um jogo de loteria consiste em selecionar seis dezenas do conjunto de cem dezenas de 00 a 99, com uma bola para cada dezena e sem reposição. Num volante (cartão aposta) o jogador pode escolher de 6 a 12 dezenas. Qual é a probabilidade de acertar-se a quina (5 dezenas) marcando-se 10 dezenas no volante?

Temos:

• N: total de dezenas, N = 100
• n: total de dezenas sorteadas, n = 6
• K: total de dezenas escolhidas, K = 10
• X: total de sucessos, queremos X = 5

A probabilidade de se acertar a quina é de aproximadamente 0,0019%.

O interessante é que o mesmo problema pode ser resolvido de outra forma. Podemos pensar que a escolha aleatória é feita pelo jogador, e que as dezenas "premiadas" já estão definidas a priori (sem o jogador saber, é claro). Isto é, existem 2 tipos de dezenas, as "premiadas" e as "não premiadas", e o jogador escolhe aleatoriamente (ou não, desde que o seu critério de escolha seja independente das dezenas "premiadas") as 10 dezenas do seu jogo. Assim

• N: total de dezenas, N = 100
• n: total de dezenas sorteadas/escolhidas pelo jogador), n = 10
• K: total de dezenas premiadas, K = 6
• X: total de sucessos, queremos X = 5

O resultado é o mesmo!